一

数学是公认的最成功，也是最成熟的科学之一。早在约2400年前，欧几里得的《几何原本》已经展现出了数学的威力。这一学科的发展同样非常丰富。此外，和很多学科不同的是，数学方法及其应用几乎存在着普遍的共识，这种共识就是证明。

尽管如此，这个学科的基础却一直被问题和谜团笼罩着。

许多人认为，数学是人类的一种发明。在这种思维方式下，数学就像一种语言，它可能描述了世界上真实的事物，但它并不“存在”于使用它的人的思想之外。

但还有一种截然不同的观点。比如，从古希腊时代开始，许多毕达哥拉斯学派的支持者就相信，现实从根本上来说就是数学的。

直到2000多年后的今天，哲学家和科学家仍然在认真思考这一观点。科学哲学家萨姆·巴伦在一篇新论文中提出了他的思考。他认为，数学是自然的一个重要组成部分，它赋予了物理世界结构。

二

让我们先看几个自然界中的例子。

蜜蜂会造出六边形的蜂窝。根据数学中的蜂窝猜想，六边形是在平面上铺砌最有效的形状。如果你想用形状和大小一样的瓷砖完全覆盖一个表面，同时让周长的总长度保持最短，那么六边形就是你应该用的形状。

蜂窝的六边形是铺砌平面的最有效的图形。｜图片来源：Sam Baron / The Conversation

据查尔斯·达尔文推断，蜜蜂进化出使用这种形状，是因为它能以最小的能量输入来生产蜂蜡，而制造出最大的巢室储存蜂蜜。

虽然蜂窝猜想很早就被提出，但到了1999年才由数学家托马斯·黑尔斯证明。

还有另一个例子是北美周期蝉。这类生物有两个亚种，它们一生的大部分时间都生活在地下，到了第13年或17年，这些蝉就会大规模地成群出现，度过短暂的成虫期。

周期蝉会以素数年为周期从地下涌出，有可能是为了避免捕食者的一种策略。｜图片来源：Michael Kropiewnicki / Pixels

为什么是13年和17年？为什么不是12和14年，或者16和18年，或者其他数值？

一种解释倾向于认为，13和17是素数。想象一下，假如蝉有各种不同的捕食者，它们大部分时间也生活在地下。这些蝉就要在捕食者处于休眠状态时从地下出来。

假设有一些捕食者的生命周期分别是2、3、4、5、6、7、8和9年。避免它们的最佳方法是什么？

P1到P9代表不同生命周期的捕食者，数轴代表年份。从图中可以看出，第13年和第17年可以完美躲避这些捕食者。｜图片来源：Sam Baron /The Conversation

举个例子，我们可以仔细比较一下13年和12年的生命周期之间的区别。当一个生命周期为12年的蝉从地下涌出时，生命周期为2年、3年和4年的捕食者也将出现，因为2、3和4都是12的约数。

但当一只生命周期为13年的蝉出现时，则不会遇到上述那些捕食者，类似的情况也适用于17。似乎这些蝉已经进化到可以利用关于数字的基本事实。

一旦我们开始思考，就很容易找到其他类似的例子。从肥皂薄膜的形状，到发动机的齿轮设计，再到土星环的缝隙位置和大小，数学无处不在。

如果数学能解释我们周围看到的这么多事物，它似乎不太可能是我们创造出来的东西。因此，另一种解释便是，数学事实是被发现的，其实不仅是人类，昆虫、肥皂泡、内燃机和行星等等都“发现”了它。

三

古希腊哲学家柏拉图有一种答案。他认为数学描述了真正存在的对象。

对柏拉图来说，这些对象包括数字和几何图形。如今，我们可能会在这个名单中加上一些更复杂的数学对象，如群、类别、函数、场和环等等。

柏拉图还认为，数学对象存在于空间和时间之外。但这样的观点只让数学如何解释任何事物的问题更难以理解。如果数学对象存在于一个不同于我们生活的世界的领域，它们似乎很难与任何物理事物发生联系。

古代的毕达哥拉斯学派同意柏拉图所说的数学描述了一个对象组成的世界的观点。但与柏拉图不同，他们并不认为数学对象存在于空间和时间之外。相反，他们认为物理现实是由数学对象构成的，就像物质是由原子构成的一样。这样一来，也就很容易看出数学在解释我们周围世界时可能发挥的作用。

近年来，还有一些科学家对这种毕达哥拉斯式的立场进行了阐述，比如，宇宙学家马克斯·泰格马克认为，现实只是一个硕大的数学对象。如果这看起来很奇怪，那么可以想想现实是一个模拟的想法。模拟是一个计算机程序，它也是一种数学对象。

物理学家兼哲学家简·麦克唐纳的观点或许更为激进。她认为现实是由数学对象和思维构成的。

在这篇新论文中，巴伦表述了另一种略有不同的观点。他认为，世界具有两个部分，包括数学和物质。数学赋予物质其形式，而物质则赋予数学其实质。数学对象为物理世界提供了一个结构框架。

四

随着物理学和数学之间的界限越来越模糊，要说世界的哪些部分是物理的，哪些是数学的，也变得越来越难。

而这种哲学思考和讨论或许有望帮助我们从根本上改变对现实的认识和理解。